Espacios Vectoriales 3
Operaciones con subespacios
Intersección de subespacios
Sea $V$ un espacio vectorial y $S$ y $T$ subespacios de V
la intersección de $S$ y $T$ está dada por
\(S \cap T=veV / v \in S \wedge v \in T\)
Es decir, todos los vectores de $V$ que existen al mismo tiempo en $S$ y $T$ Así también, la intersección es un subespacio de $V$
Ejemplo
Sean $U$,$V$ $\subset R^3 /$
\(U=X \in R^3 / 2x+3y+z=0\)
\(V=X \in R^3 / x+2y-z=0\)
Entonces planteamos
\[U \cap V=X \in R^3 / 2x_1+3x_2+x_3=0 \wedge x_1+2x_2-x_3=0\]Como podemos observar, se resuelve con un sistema de ecuaciones lineales. En este caso en particular, como los subespacios son planos, también se puede hacer el producto vectorial con un vector normal de cada plano, de esa manera obtenemos un vector director de la recta (si es que intersectan en una recta) en donde intersectan los dos subespacios.
Como me aburro de hacer sistemas lineales, vamos a hacer el producto vectorial
Las opciones obvias de vectores normales (y que salen de la ecuación implícita) a los planos son
$v_{u}=(2,3,1)$
$v_{v}=(1,2-1)$
Entonces, $U$ y $V$ intersectan en una recta. Pero lo que queremos es ver que $U \cap V$ es un subespacio, entonces vamos a dar el resultado como una base.
Base de $U \cap V={(-5,0,1)}$
Cuidado, también puede suceder que $U$ y $V$ sean el mismo plano, en ese caso los vectores normales de estos planos van a ser paralelos y el producto vectorial va a dar vector nulo $(0,0,0)$, esto no significa que no haya intersección!$
Suma de subespacios
Sea $V$ un E.V y $S$ y $T$ subespacios de $V$ \(S+T=v \in V / v=s+t, s \in S, t \in T\)
Intentemos ponerlo en palabras: 1.La suma de subespacios se compone por vectores $v$ pertenecientes a $V$ 2.Los vectores $v$ son resultado de la suma de dos vectores $s$ y $t$ 3.$s$ y $t$ salen de los subespacios $S$ y $T$ respectivamente
Así también, la suma es un subespacio de $V$
Veamos una propiedad que nos va a servir para sumar subespacios
Sean:
Base de $S={v_{1}, v_{2}…v_{r}}$
Base de $T={t_{1}, t_{2}…t_{k}}$
Entonces
\(S+T=gen{v_{1}, v_{2}...v_{r}, t_{1}, t_{2}...t_{k}}\)
Como en cualquier E.V si el conjunto es linealmente independiente, es base de $S+T$
Ejemplo
Sean $V=R^3$
y
\(S=(x,y,z) \in R^3 / x=z=0\)
\(T=(x,y,z) \in R^3 / y=z=0\)
Obtenemos una base de $S$
$(0,y,0)=y(0,1,0)$
Base de $S={(0,1,0)}$
Obtenemos una base de $T$
$(x,0,0)=x(1,0,0)$
Base de $T={(1,0,0)}$
Entonces las bases generan a $S+T$
\[S+T=gen\{(0,1,0),(1,0,0)\}\]Como sabemos que es linealmente independiente, decimos que es base de $S+T$
Base $S+T={(0,1,0),(1,0,0)}$
Suma directa
Decimos que $S+T$ es suma directa si y solo si $S \cap T={\vec{0}}$
Es decir, es suma directa si en la intersección, solo se encuentra el vector nulo.
Se escribe como $S \bigoplus T$
Una igualdad que nos sirve para saber si la suma es directa sin necesidad de calcular la intersección es la siguiente:
\[dim(S+T) = dimS + dimT - dim(S \cap T)\]En el ejemplo anterior
\[2 = 1 + 1 -dim(S \cap T)\]Luego, $dim(S \cap T)=0$, entonces la suma es directa
Un ejercicio para pensar
Sean
\(S=x \in R^3 / x_{1}+x_{2}-x_{3}=0\) \(T={(0,-1,1),(2,1,1)}\)
Hallar $v \in S+T / v \notin S \wedge v \notin T$
Es decir, encontrar todos los vectores $v$ que pertenecen al subespacio $S+T$ pero no a $S$ ni a $T$
¿Interesante no?
Bien, como primera instancia, me puede llegar a interesar ver como son $S$ y $T$. $S$ es un plano y al parecer $T$ también lo es, ya que es una base de dimensión dos.
Quiero saber como son estos planos entre sí, para eso busco la ecuación de $T$
Triangulando la matriz, obtengo que $x-y-z=0$ para que el sistema no sea incompatible, luego esa es la ecuación del plano.
Ahora, veo como es la intersección entre ellos
\[\left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right|\ = (-2,0,-2)]\]Bien, entonces intersectan en una recta. Detengámonos un momento a imaginar como son esos dos subespacios vectoriales. Son dos planos que intersectan en una recta, algo así:
Entonces, si los vectores de $S$ siempre se encuentran dentro del plano $S$ y los de $T$ dentro del plano de $T$, ¿En donde se encuentran los de $S+T$?
Si hacemos el cálculo de la base de $S+T$ nos va a dar que $S+T=R^3$, o sea son todos los vectores del espacio, pero se pide además que no pertenezcan a $S$ ni a $T$, para esto volvamos a la definición de la suma:
Todos los vectores $v$ de la suma de $S$ y $T$ se componen de la suma de un vector $s \in S$ y otro $t \in T$. Dicho esto ¿Qué no debe suceder para que $v$ no “caiga” en $S$ o $T$?
Hay que pensar gráficamente en la suma de vectores, la única forma de que eso no suceda es que ni $s$ ni $t$ sean vector nulo.
Por lo tanto
\[v = s+t \in (S+T) / s \neq \vec{0} \land t \neq \vec{0}, s \in S, t \in T\]