Espacios Vectoriales 2
Recordemos: Combinación Lineal
Decimos que un vector $\vec{v}$ puede escribirse como combinación lineal de los vectores del conjunto $A$ si se cumple que:
Sea \(A={\vec{\beta_{1}}, \vec{\beta_{2}},..., \vec{\beta_{n}}}\)
\[\vec{v}=\alpha_{1}.\vec{\beta_{1}} + \alpha_{2}.\vec{\beta_{2}} +... \alpha_{n}.\vec{\beta_{n}}\]Donde \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{n} \in R\)
Esto es más facil verlo en un ejemplo
Sean \(\vec{v}=(2,1);\) \(A=\{(1,-1), (0,1)\}\)
Entonces ¿Es $\vec{v}$ combinación lineal de $(1,-1)$ y $(0,1)$?
Para ver esto, planteamos:
\(\alpha_{1}(1,-1) + \alpha_{2}(0,1)=(2,1)\) \((\alpha_{1}, -\alpha_{1}) + (0, \alpha_{2})=(2,1)\) \((\alpha_{1}, -\alpha_{1}+\alpha_{2})=(2,1)\)
Si observamos bien, podemos plantear un sistema de ecuaciones lineales
\[\begin{cases} \alpha_{1}=2 \\ -\alpha_{1}+\alpha_{2}=1 \end{cases}\] \[=> \alpha_{1}=2 \hspace{0.5cm} \alpha_{2}=3\]Tenemos que \((2,1)=2(1,-1)+3(0,1)\)
Entonces decimos que $\vec{v}$ es combinación lineal de $(1,-1)$ y $(0,1)$
Sistema generador
Un conjunto de vectores es un sistema generador de un $K$-espacio vectorial $V$ si cualquier vector de $V$ puede escribirse como combinación lineal de los vectores del sistema generador.
Se escribe \(gen\{\vec{v_1}, \vec{v_2},..., \vec{v_n}\}\)
Es decir, el generador “genera” todo el espacio $V$, por lo tanto es una forma de expresar un espacio vectorial.
Algunos ejemplos
\(gen\{(1,0),(0,1)\}=R^2\)
\(gen\{(1,0),(0,1),(1,1)\}=R^2\)
\(gen\{(1,0)\} \neq R^2\)
\(gen\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}=R^3\)
Independecia lineal y Dependencia lineal
Se dice que un conjunto es linealmente independiente cuando el vector nulo es combinación lineal de los vectores de dicho conjunto solo con los coeficientes iguales a cero. Veámoslo formalmente:
Sea $V$ un $K$-espacio vectorial y un conjunto \(A=\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_n}\} \in V\)
decimos que $A$ es linealmente independiente si:
\(\vec{v}=\alpha_{1}.\vec{v_{1}} + \alpha_{2}.\vec{v_{2}} +... \alpha_{n}.\vec{v_{n}}=\vec{0}\)
Con $\alpha_{i}=0$ para todo $i$
Por otro lado es linealmente dependiente si el vector nulo es combinación lineal de los vectores del conjunto con alguno o algunos de los coeficientes distinto o distintos de cero.
Sea $V$ un $K$-espacio vectorial y un conjunto \(A=\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_n}\} \in V\)
decimos que $A$ es linealmente dependiente si:
\(\vec{v}=\alpha_{1}.\vec{v_{1}} + \alpha_{2}.\vec{v_{2}} +... \alpha_{n}.\vec{v_{n}}=\vec{0}\)
Con $\alpha_{i} \neq 0$ para algún $i$
Vamos a ver ejemplos de esto en bases de un espacio vectorial
Base de un espacio vectorial
Sea $V$ un $K$-espacio vectorial, decimos que un conjunto \(A=\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_n}\}\) es una base de $V$ si cumple que:
- $A$ es linealmente independiente
- $ gen{A}=V $
De los ejemplos de generadores, vimos que \(gen\{(1,0),(0,1)\}=R^2\)
Tenemos que ${(1,0),(0,1)}$ genera $R^2$ pero ¿Es linealmente independiente?
Para eso planteamos:
\(\alpha_{1}(1,0) + \alpha_{2}(0,1)=(0,0)\)
\((\alpha_{1}, 0) + (0, \alpha_{2})=(0,0)\)
\((\alpha_{1}, \alpha_{2})=(0,0)\)
Nos queda que $\alpha_{1}=0$ y $\alpha_{2}=0$, por lo tanto el conjunto es linealmente independiente.
Entonces $B={(1,0),(0,1)}$ es una base de $R^2$
Dimensión de una base
La dimensión de una base, es basicamente la cantidad de vectores que contiene dicha base.
En el ejemplo anterior vimos que $B={(1,0),(0,1)}$ es una base de $R^2$
Por lo tanto la dimensión de $B$ es igual a $2$
Se escribe:
Nótese que la dimensión de una base de $R^2$ siempre tiene dimensión $2$ y una base de $R^3$ siempre va a tener dimensión $3$
Observación:
A ${(1,0),(0,1)}$ se la conoce como base canónica de $R^2$
¿Te suena la notación de vectores en $R^2$ y $R^3$ respectivamente como $v=\alpha i+\beta j$ y $v=\alpha i+\beta j+\gamma k$?
Esta notación es la combinación lineal de un vector a partir de la base canónica, geométricamente $i$, $j$ y $k$ son los versores de cada eje
-En $R^3$
\((x, y, z) = \alpha i + \beta j$ + \gamma k\)
Es lo mismo que
\((x, y, z) = \alpha (1,0,0) + \beta (0,1,0)$ + \gamma (0,0,1)\)
Bien, ahora ¿Qué sucede si tenemos un conjunto que genera un espacio vectorial pero no es linealmente independiente? ¿Cómo obtenemos una base en ese caso?
De los ejemplos de generadores, vimos que \(gen\{(1,0),(0,1),(1,1)\}=R^2\)
Bien, ${(1,0),(0,1),(1,1)}$ genera $R^2$ pero ¿Es linealmente independiente? Para eso planteamos:
El sistema queda
\[\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{3}=0 \\ \alpha_{2}+\alpha_{3}=0 \end{cases}\]Observamos que el sistema no es compatible determinado, entonces no es linealmente independiente
Lo que debemos hacer es quitar vectores del conjunto hasta que sea linealmente independiente, en este caso, como sabemos que una base de $R^2$ tiene dimensión $2$, debemos sacar un vector del conjunto, para saber cual podemos quitar, colocamos los vectores en una matriz y triangulamos
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]Como la última fila queda anulada, el candidato a salir es el último vector, el $(1,1)$
**Observación: En lugar de haber igualado la combinación lineal al vector nulo en un principio, podríamos haber hecho esto directamente.
Nos queda que \(gen\{(1,0),(0,1)\}\) y como ya sabemos, es linealmente independiente, entonces \(B=\{(1,0),(0,1)\}\) es una base de $R^2$
Ejercicio: Obtener una base y su dimensión de un subespacio
Sea un subespacio definido por
\[S={(x,y,z)\in R^3 / 2x+3y-z=0}\]Obtener una base y su dimensión
- Buscamos un generador de $S$
Para eso, vamos a colocar la mayor cantidad de variables en función de otras que podamos en la ecuación del plano
\(2x+3y-z=0\)
\(2x+3y=z\)
Ahora planteamos
\[(x, y, 2x+3y)=x(1,0,2)+y(0,1,3)\]Luego
\[gen\{(1,0,2),(0,1,3)\}=S\]- Resta ver si {(1,0,2),(0,1,3)} es linealmente independiente
Triangulamos
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}\]Y vemos que ninguna fila se anula, por lo tanto, es linealmente independiente.
Luego \(B=\{(1,0,2),(0,1,3)\}\) base de $S$
Y $Dim(B)=2$
En la tercera parte de Espacios vectoriales:
- Suma e intersección de subespacios