Análisis Matemático 2 Teoremas Integrales
Teorema de Green, teorema de Stokes o del rotor, teorema de Gauss o de la divergencia
Teorema de Green
Dada una curva \(C\) simple y orientada en forma positiva, encerrando una región \(R\) en el plano \(xy\), la integral curvilinea de un campo \(F: D \in \Re^2 \to \Re^2 / F=(P(x,y), Q(x,y))\) donde \(P,Q\) son funciones diferenciables en \(\Re\) se puede calcular mediante:
\[\oint_{C+} F \cdot dS = \int \int_R (Q'_{x} - P'_{y}) dxdy\]Si \(F\) es un campo conservativo, luego, se cumple que \(Q'_{x} - P'_{y}=0 \implies \oint_{C+} F \cdot dS = 0\)
Teorema de Stokes o del rotor
La integral de un campo vectorial \(F: D \in \Re^3 \to \Re^3\) sobre una curva \(C\) en \(\Re^3\) regular, simple y cerrada, resulta igual a la integral del rotacional de dicho campo sobre la superficie encerrada por la curva. Se puede tomar cualquier superficie que contenga a la curva.
\[\oint_{C+} F \cdot dS = \int \int_{S+} rot(F) \cdot dS\]Teorema de Gauss o de la divergencia
Significado físico de la divergencia
Representa el flujo del campo a través de la superficie en un punto determinado. Siendo el flujo, la cantidad de lineas de campo que atraviesan la superficie por unidad de superficie.
Cuando \(div(F) > 0\) significa que en el punto calculado el campo emerge de la superficie (fuente). Cuando \(div(F) < 0\) significa que en el punto calculado el campo confluye hacia la superficie (sumidero). Si \(div(F) = 0\) no hay transferencia de campo entre la superficie y el exterior.
La integral de un campo vectorial \(F: D \in \Re^3 \to \Re^3\) sobre una superficie cerrada \(S\) orientada de forma positiva, es igual a la integral triple de la divergencia del campo vectorial sobre el volumen encerrado por la superficie.
\[\bigcirc \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint_{S+} F \cdot dS = \int \int \int_V div(F) dV\]