Análisis Matemático 2 Superficies

Definición, distintas formas de expresión, vector normal a una superficie, superficie orientable, clasificación de superficies.

Definición

Llamamos superficie a un conjunto de puntos de $S=(x,y,z) \in \Re^3$ que corresponden a la gráfica de la función vectorial $\vec s:D \subseteq \Re^2 \to \Re^3$ tal que la imágen de $Im(\vec s)=S$

Distintas formas de expresión

Forma explícita

$$z=f(x,y)$$

Ej: Paraboloide $z=x^2+y^2$

Forma vectorial de la explícita

$$S(x,y)=(x,y,f(x,y))$$

Forma implícita

$$F(x,y,z)=0$$

Ej: Paraboloide $x^2+y^2-z=0$

Forma paramétrica

Parametrizando el paraboloide

$$S_{1}(u,v)=(ucos(v), usin(v), u^2); 0 \leq v \leq 2\pi; 0 \leq u \leq \sqrt(2)$$

O su parametrización trivial

$$S_{2}(u,v)=(u,v,u^2+v^2)$$

Ejemplo:

$$S=(x,y,z) \in \Re^3 / (x^2-4y)^2-16z=0$$

pasando a la forma explícita:

$$z=\frac{(x^2-4y)^2}{16} = (\frac{(x^2-4y)}{4})^2 = ((\frac{x}{2})^2-y)^2$$

ahora a la forma paramétrica:

$$\left\{\begin{aligned} &u=\frac{x}{2} \\ &y=v \end{aligned} \right.$$ $$\implies \vec S (u,v)=(2u, v, (u^2-v)^2)$$

Written on May 11, 2018