Análisis Matemático 2 Superficies

Definición, distintas formas de expresión, vector normal a una superficie, superficie orientable, clasificación de superficies.

Definición

Llamamos superficie a un conjunto de puntos de \(S=(x,y,z) \in \Re^3\) que corresponden a la gráfica de la función vectorial \(\vec s:D \subseteq \Re^2 \to \Re^3\) tal que la imágen de \(Im(\vec s)=S\)

Distintas formas de expresión

Forma explícita

\[z=f(x,y)\]

Ej: Paraboloide \(z=x^2+y^2\)

Forma vectorial de la explícita

\[S(x,y)=(x,y,f(x,y))\]

Forma implícita

\[F(x,y,z)=0\]

Ej: Paraboloide \(x^2+y^2-z=0\)

Forma paramétrica

Parametrizando el paraboloide

\[S_{1}(u,v)=(ucos(v), usin(v), u^2); 0 \leq v \leq 2\pi; 0 \leq u \leq \sqrt(2)\]

O su parametrización trivial

\[S_{2}(u,v)=(u,v,u^2+v^2)\]

Ejemplo:

\[S=(x,y,z) \in \Re^3 / (x^2-4y)^2-16z=0\]

pasando a la forma explícita:

\[z=\frac{(x^2-4y)^2}{16} = (\frac{(x^2-4y)}{4})^2 = ((\frac{x}{2})^2-y)^2\]

ahora a la forma paramétrica:

\[\left\{\begin{aligned} &u=\frac{x}{2} \\ &y=v \end{aligned} \right.\] \[\implies \vec S (u,v)=(2u, v, (u^2-v)^2)\]

Written on May 11, 2018