Análisis Matemático 2 Limite Y Continuidad De Funciones Multivariables
límite, límites curvilineos, resolución por acotación, continuidad.
Límite
Sea la función \(f:\Re^n \to \Re^m\) ; \(a \in \Re^m\)
y sea \(\lim_{\vec x\to \vec a} f(\vec x) = \vec L\)
La definición formal de límite es muy similar a la de una variable
\[\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : 0<dist(\vec x,\vec a)<\delta \implies 0<dist(f(\vec x), \vec L)\]Es importante notar que SIEMPRE en límites de funciones multivariables, en todos los casos que tengamos una indeterminación de algún tipo y la “salvemos” hay que probar que el “potencial” límite existe!!
Ejemplo:
Calcular
\[\lim_{(x,y)\to(a,a)} = \frac{x^2-y^2}{x-y} \\ = \lim_{(x,y)\to(a,a)} = \frac{(x-y)(x+y)}{x-y} = 2a\]Hay que probar que el límite existe y es 2a por definición
\[\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : 0<|| (x,y)-(a,a) ||<\delta \\ \implies |\frac{x^2-y^2}{x-y}-2a| < \epsilon \\ |\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}-2a| < |(x-a)+(y-a)| \leq |x-a|+|y-a| \\ \leq || (x-a;y-a) || + || (x-a;y-a) || \leq 2|| (x-a, y-a) || < 2 \delta\]Luego, encontramos una relación entre delta y épsilon
\[\delta (\epsilon) = \frac{\epsilon}{2}\]En conclusión, el límite existe y es $2a$
Otro ejemplo:
Demostrar que \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4xy^2}{x^2+y^2} = 0\)
Por definición:
\[\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : 0 < || (x,y) - (0,0) ||< \delta \\ \implies 0<|\frac{4xy^2}{x^2+y^2}-0|<\epsilon\]Tenemos que:
\[0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta \\ \implies |x|<\delta \land |y|<\delta\]Por propiedad, sabemos que \(x^2+y^2 \ge y^2\) Luego:
\[\frac{1}{x^2+y^2} \leq \frac{1}{y^2}\]Multiplicando lado a lado por \(4|x|y^2\)
\[\frac{4|x|y^2}{x^2+y^2} \leq \frac{4|x|y^2}{y^2} \\ \leq 4|x|\]Como teníamos que \(|x|<\delta\)
\[\implies 4|x| < 4 \delta \implies \delta (\epsilon) = \frac{\epsilon}{4}\]Límites curvilineos
Suponemos que nos acercamos desde $\vec x$ a $\vec x_{0}$ a través de una curva que une a ambos puntos, si el límite existe, los resultados con cualquier punto que tomemos deben ser idénticos. Si por alguna de las curvas el resultado es distinto, entonces no existe el límite.
Los límites curvilineos se utilizan para comprobar la NO existencia de límite.
Ej:
Analizar existencia de:
\[\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}\]Por familia de rectas $y=mx$
\[= \lim_{x->0} \frac{xmx}{x^2+m^2x^2} = \lim_{x->0} \frac{m}{1+m^2} = \frac{m}{1+m^2} \implies \nexists lim\]Otro Ej:
\[\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4xy^2}{x^2+y^2} = 0\]Luego, por cualquier curva, el límite debe dar cero.
Por familia de rectas:
\[\lim_{x->0; y=mx} \frac{4xy^2}{x^2+y^2} = \lim_{x->0} \frac{4xm^2x^2}{x^2+m^2x^2} \\ \lim_{x->0} \frac{4xm^2}{1+m^2} = 0\]Por familia de parábolas:
\[\lim_{y->0; x=my^2} \frac{4xy^2}{x^2+y^2} = \lim_{y->0} \frac{4my^2y^2}{m^2y^4+y^2} \\ \lim_{y->0} \frac{4my^2}{m^2y^2+y^2} = 0\]Por curva: $t, sen(t)$
\[\lim_{(x,y)->(0,0)} \frac{4xy^2}{x^2+y^2} = \lim_{t->0} \frac{4t*sen^2(t)}{t^2+sen^2(t)} \\ \lim_{t->0} \frac{\frac{4t*sen^2(t)}{t^2}}{\frac{t^2}{t^2} + \frac{sen^2(t)}{t^2}} = 0\]Resolución por acotación
Teorema de la intercalación o sandwich:
Dadas $f(x,y)>0;g(x,y)>0;h(x,y)>0$ tales que en un entorno reducido de $\vec x_{0}$.
Si:
\[g(x,y) \le f(x,y) \le h(x,y)\]Si:
\[\lim_{(x,y)->(x_{0},y_{0})} g(x,y) = L \land \lim_{(x,y)->(x_{0},y_{0})} h(x,y) = L\] \[\implies \lim_{(x,y)->(x_{0}, y_{0})} f(x,y) = L\]Ej:
\[\lim_{(x,y)->(0,0)} \frac{4xy^2}{x^2+y^2} = 0\]Tenemos que:
\[x^2+y^2 \ge y^2 \\ \frac{1}{x^2+y^2} \le \frac{1}{y^2}\]| Entonces, si multiplicamos lado a lado por $4 | x | y^2$ |
Luego
\[0 \le | \frac{4|x|y^2}{x^2+y^2} | \le 4|x|\]Aplicamos límite
\[\lim_{(x,y)->(0,0)} 0 \le \lim_{(x,y)->(0,0)} | \frac{4|x|y^2}{x^2+y^2} | \le \lim_{(x,y)->(0,0)} 4|x|\] \[0 \le \lim_{(x,y)->(0,0)} | \frac{4|x|y^2}{x^2+y^2} | \le 0\]Entonces, por teorema de intercalación, \(\lim_{(x,y)->(0,0)} | \frac{4|x|y^2}{x^2+y^2} | = 0\) y como \(lim|f| = 0\), también \(lim(f) = 0\)
En conclusión:
\[\lim_{(x,y)->(0,0)} \frac{4xy^2}{x^2+y^2} = 0\]Continuidad de una función de dos variables
De forma similar que para una variable, decimos que \(f(x,y)\) es continua en \(\vec x_{0}\) si el límite en dicho punto existe y se cumple que \(f(\vec x_{0}) = \lim\)
En definitiva:
\[f(x_{o}, y_{0}) = \lim_{(x,y)->(x_{0}, y_{0})} f(x,y)\]Ej:
Hallar los puntos donde la función es continua:
\[f(x,y) = \left\{\begin{aligned} &\frac{4xy^2}{x^2+y^2} &&: (x,y) \neq (0,0) \\ &0 &&: (x,y) = (0,0) \end{aligned} \right.\]Viendo el dominio de f, podemos ver que es continua \(\forall (x,y) \neq (0,0)\) por ser un cociente de polinomios. Entonces queremos analizar continuidad en \((x,y) = (0,0)\)
\[\lim_{(x,y)->(0,0)} \frac{xy^2}{x^2+y^2} = 0\]Elijo demostrar por definición (también podría usar intercalación)
\[\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : 0 < || (x,y)-(0,0) || < \delta \\ \implies 0 < |\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0| < \epsilon\]Partimos desde delta:
\[0 < \sqrt(x^2+y^2) < \delta \implies |x|<\delta \land |y|<\delta\]Ahora con epsilon, por propiedad:
\[x^2+y^2 \ge y^2 \\ = \frac{1}{x^2+y^2} \le \frac{1}{y^2}\]Lado a lado:
\[\frac{|x|y^2}{x^2+y^2} \le \frac{|x|y^2}{y^2}\]Luego, la relación delta-epsilon es:
\[\delta(\epsilon) = \epsilon\]En conclusión, \(f(x,y)\) es continua \(\forall (x,y) \in \Re^2\)