Análisis Matemático 2 Integrales De Superficie
Integrales de superficie, integrales de superficie sobre campos escalares, área de una superficie, integrales de superficie sobre campos vectoriales.
Integrales de superficie sobre campos escalares
1- Superficie paramétrica \(S(u,v)\)
\[\int \int_S f(x,y,z) dS = \int \int_{R_{uv}} f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) || S'_{u} \times S'_{v} || dudv\]2- Superficie implícita \(g(x,y,z)=0\)
\[\int \int_S f(x,y,z) dS = \int \int_{R_{xy}} f(x,y,z) \frac{||\vec \nabla g||}{|\vec \nabla g \cdot \hat{k}|} dxdy\]Acá podemos también proyectar sobre los otros planos, deberemos cambiar en ese caso versor k por el correspondiente y cambian las variables de integración.
3- Superficie explícita \(z=g(x,y)\)
\[\int \int_S f(x,y,z) dS = \int \int_{R_{xy}} f(x,y, g(x,y)) \sqrt((g'_{x})^2 + (g'_{y})^2 + 1) dxdy\]Area de una superficie
Como ya estamos acostumbrados, si la función a integrar es f(x,y,z)=1 la integral nos va a dar como resultado el área de la superficie S
Integrales de superficie sobre campos vectoriales
1- Superficie paramétrica \(S(u,v)\)
\[\int \int_S F \cdot dS = \int \int_{R_{uv}} f[x(u,v), y(u,v), z(u,v)] \cdot (S'_{u} \times S'_{v}) dudv\]2- Superficie implícita \(g(x,y,z)=0\)
\[\int \int_S F \cdot dS = \int \int_{R_{xy}} F(x,y,z) \cdot \vec \nabla g \frac{1}{|\vec \nabla g \cdot \hat{k}|} dxdy\]Acá podemos también proyectar sobre los otros planos, deberemos cambiar en ese caso versor k por el correspondiente y cambian las variables de integración.
3- Superficie explícita \(z=g(x,y)\)
\[\int \int_S F \cdot dS = \int \int_{R_{xy}} F(x,y,g(x,y)) \cdot (-g'_{x}, -g'_{y}, 1) dxdy\]