Análisis Matemático 2 Integrales Triples
Integral triple, cálculo de volúmenes, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas.
Integral triple
Así como en las integrales dobles la región de integración elemental es un rectángulo, en las integrales triples al agregar una variable, la regíon resulta en un cubo o paralelepípedo.
Por ejemplo:
\[I = \int_{z=0}^{z=c} \int_{y=0}^{y=b} \int_{x=0}^{x=a} f(x,y,z) dxdydz\]Cálculo de volúmenes
Cuando la función a integrar es constante e igual a 1, el resultado de la integral triple, es el volúmen de la región de integración.
\[V = \int \int \int_{V} 1 dxdydz = \int \int_{R_{xy}} \int_{z_0}^{z_1} dxdydz\]Podemos ver la integral anterior desde la interpretación del volúmen como base por altura, al aplicar este concepto a la integral triple, la descomponemos en una integral doble que nos dará como resultado el área de la región \(R_{xy}\) de la base y por otro lado aplicando una integral en \(z\) que nos dará la altura del cuerpo
Coordenadas cilíndricas
Este cambio de variables suele ser conveniente cuando la proyección del cuerpo en cuestión sobre el plano $xy$ es una circunferencia o elipse.
Para una circunferencia:
\[\left\{\begin{aligned} &x=rcos(\theta) \\ &y=rsin(\theta) \\ &z=z \end{aligned} \right.\]Donde
\[\left\{\begin{aligned} &0 \le r \le r_{0} \\ &0 \le \theta \le 2 \pi \\ &z_{0} \le z \le z_{1} \end{aligned} \right.\] \[|J|=r\]Como se puede observar, es muy similar a las coordendas polares, solamente se agrega la altura \(z\)
Para una elipse:
\[\left\{\begin{aligned} &x=arcos(\theta) \\ &y=brsin(\theta) \\ &z=z \end{aligned} \right.\]Donde
\[\left\{\begin{aligned} &0 \le r \le r_{0} \\ &0 \le \theta \le 2 \pi \\ &z_{0} \le z \le z_{1} \end{aligned} \right.\] \[|J|=abr\]Coordenadas esféricas
Es conveniente utilizar este cambio de variables cuando tenemos cuerpos como esferas o conos
De forma general tenemos:
\[\left\{\begin{aligned} &x=\rho sin(\phi) cos(\theta) \\ &y=\rho sin(\phi) sin(\theta) \\ &z=\rho cos(\phi) \end{aligned} \right.\]Ejemplos:
Para obtener una esfera de radio r (dejamos \(\rho\) constante):
\[\left\{\begin{aligned} &\rho = r \\ &0 \le \theta \le 2 \pi \\ &0 \le \phi \le \pi \end{aligned} \right.\]Para obtener un cono (dejamos \(\phi\) constante):
\[\left\{\begin{aligned} &\rho_{0} \le \rho \le \rho_{1} \\ &0 \le \theta \le 2 \pi \\ &\phi = \frac{\pi}{4} \end{aligned} \right.\]En todos los casos el jacobiano es
\[|J|=\rho^2 sin(\phi)\]Las posibilidades son varias, así que es importante darse cuenta que cuerpo obtenemos según los valores que tomen \(\rho, \phi, \theta\)