Análisis Matemático 2 Diferenciabilidad
Contacto de orden n entre dos funciones, test de tangencia, teoremas.
Contacto de orden n entre dos funciones
Dos funciones \(f\) y \(g\) tienen un contacto de orden \(n\) en el punto \(a\) cuando:
\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)-g(x)}{|| x-a ||^n} = 0\]Test de tangencia
Cuando hablamos de tangencia, estamos hablando de un contacto de orden 1 entre dos funciones.
Luego, sea \(f:\Re^2 \to \Re\) entonces la función posiblemente tangente en \((a,b)\) será de la forma \(Z=T(x,y)\)
\[\implies Z=T(x,y)= f(a,b) + \frac{\partial f}{\partial x}(x-a) + \frac{\partial f}{\partial y}(y-b)\]Es el plano “tangente” que vimos durante derivabilidad. Vamos ahora a llamar a este plano, posiblemente o potencialmente tangente, para verificar que efectivamente el plano es tangente, debemos hacer la prueba de tangencia:
\[\lim_{(x,y) \to (a,b)} \frac{f(x,y)-T(x,y)}{|| x-a, y-b ||}=0\]Finalmente, si el plano es tangente en \((a,b)\) decimos que \(f\) es diferenciable en \((a,b)\)
Teoremas
1* Si \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\) y \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\) son continuas en un entorno de \((a,b) \implies\) \(f\) es diferenciable en \((a,b)\)
2* Si \(f\) es diferenciable en \((a,b) \implies\) \(f\) es continua en \((a,b)\)