Análisis Matemático 2 Derivadas Sucesivas
Derviadas sucesivas o de órden superior, teorema de Schwarz, aproximación cuadrática (polinomio de Taylor de grado 2)
Derivadas sucesivas o de órden superior
Como ya vimos, en funciones de varias variables derivamos parcialmente, en las derivadas sucesivas también sucede lo mismo, Sea \(f: \Re^2 \to \Re\) podemos derivar \(f\) respecto de \(x\) (\(f'_{x}\)) y luego con respecto a \(y\) (\(f''_{xy}\)).
Ej:
Sea \(f(x,y)=xy+(x+2y)^2\)
Las derivadas de primer órden son:
\(f'_{x}=y+2(x+2y)\); \(f'_{y}=x+4(x+2y)\)
las de segundo órden:
\(f''_{xx}=2\); \(f''_{yy}=8\)
y de segundo órden mixtas:
\(f''_{xy}=5\); \(f''_{yx}=5\)
Nótese que las derivadas de segundo órden mixtas en este caso son iguales. esto no es casualidad.
Teorema de Schwarz
Si \(D_{1}f(x,y)\) y \(D_{2}f(x,y)\) son diferenciables en un entorno de \(a \implies D_{1}f(a)=D_{2}f(a)\)
En palabras, si se cumple que las derivadas de primer orden son diferenciables en \(a\), entonces las derivadas mixtas en cualquier órden de derivación de segundo órden son iguales. Esto se puede generalizar para órdenes mayores:
Las derivadas mixtas de órden \(n\) en \(a\) van a ser iguales \(\iff\) las derivadas de órden \(n-1\) son diferenciables en \(a\)
Ejercicio:
Averiguar el mínimo \(n \in N / D_{x}D_{y}f(0,0)=D_{y}D_{x}f(0,0)\)
sea \(f(x,y) = \left\{\begin{aligned} &\frac{x^ny}{x^2+y^2} &&: (x,y) \neq (0,0) \\ &0 &&: (x,y) = (0,0) \end{aligned} \right.\)
Analizando continuidad:
\[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^ny}{x^2+y^2} = 0\]Acotando
\[x^2+y^2 \ge y^2\] \[\frac{1}{x^2+y^2} \le \frac{1}{y^2}\]luego
\[\frac{|x^n||y|}{x^2+y^2} \le \frac{|x^n||y|}{y^2} \le |x^n|\]Por sandwich, \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^ny}{x^2+y^2} = 0\) entonces es continua en \((0,0)\)
Obtengo las derivadas parciales:
Si \((x,y) \neq (0,0)\)
\(f'_{x} = \frac{y(nx^{n-1}(x^2+y^2)-2x^{n+1})}{(x^2+y^2)^2}\) \(f'_{y} = \frac{x^n(x^2+y^2-2y^2)}{(x^2+y^2)^2}\)
Si \((x,y) = (0,0)\)
\(f'_{x} = 0\) \(f'_{y} = 0\)
Y ahora las derivadas cruzadas en \((0,0)\)
\[f''_{yx} = \lim_{h \to 0} \frac{f'_{y}(h,0)-f'_{y}(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^n}{h^3}\] \[f''_{xy} = \lim_{h \to 0} \frac{f'_{x}(0,h)-f'_{x}(0,0)}{h} = 0\]Como los límites deben coincidir, igualo:
\[\lim_{h \to 0} \frac{h^n}{h^3} = 0 \iff n \ge 4\]En conclusión, el mínimo \(n \in N / D_{x}D_{y}f(0,0)=D_{y}D_{x}f(0,0)\) es \(4\)
Aproximación cuadrática
Como ya vimos, la aproximación lineal de una función de dos variables se calcula mediante el plano tangente en un punto \((a,b)\)
\[T(x,y)=f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)\]Lo anterior se denomina también polinomio de Taylor de primer grado de \(f\) en \((a,b)\)
De la misma manera, definimos el polinomio de Taylor de grado 2 de una función \(f\) de dos variables en \((a,b)\) como:
\[Q(x,y)=f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b) \\ + \frac{1}{2}f_{xx}(a,b)(x-a)^2+f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+\frac{1}{2}f_{yy}(a,b)(y-b)^2\]