Análisis Matemático 2 Campos Vectoriales
Definición, lineas de campo, operador nabla, función potencial.
Definición
LLamamos campo vectorial a una función vectorial \(F:D \subseteq \Re^n \to \Re^n\)
Por ejemplo: \(F:D \subseteq \Re^3 \to \Re^3 / F(x,y,z)=(F_{1}(x,y,z), F_{2}(x,y,z), F_{3}(x,y,z))\)
Lineas de campo
Las lineas de campo son curvas en \(\Re^2\) o \(\Re^3\) cuyas trayectorias muestran la continuidad de la orientación de los vectores del campo, estas curvas pueden ser abiertas o cerradas y tienen la propiedad de que no se cortan entre si. En cada punto, el vector del campo es tangente a la curva.
Calcular las lineas de campo, implica resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
En \(\Re^2:\) \(\frac{dx}{F_{1}} = \frac{dy}{F_{2}}\)
En \(\Re^3:\) \(\frac{dx}{F_{1}} = \frac{dy}{F_{2}} = \frac{dz}{F_{3}}\)
Ej: \(F(x,y) = (-y, x)\)
\[F_{1} = -y; F_{2} = x\]Planteamos la ecuación diferencial:
\[\frac{dx}{-y} = \frac{dy}{x} \\ \int \frac{dx}{-y} = \int \frac{dy}{x} \\ \frac{x^2}{2} = \frac{-y^2}{2} + C \implies x^2+y^2=2C\]Entonces las lineas de campo son circunferencias de radio \(\sqrt 2C\)
Ejercicio:
Dado el campo vectorial \(F(x,y,z)=\frac{-y}{z}\hat{i}-\frac{x}{z}\hat{j}+\frac{xy}{z^2}\hat{k}\) Hallar una parametrización de la linea de campo que pasa por \(P_{0}=(1,1,1)\)
Como se trata de una curva en \(\Re^3\) va a estar definida por la intersección de dos superficies
Pleanteando la ecuación diferencial:
\[\frac{dx}{\frac{-y}{z}} = \frac{dy}{\frac{-x}{z}} = \frac{dz}{\frac{xy}{z^2}}\]de la primera y segunda ecuación:
\[\frac{dx}{\frac{-y}{z}} = \frac{dy}{\frac{-x}{z}} \\ -xdx = -ydy \\ \int -xdx = \int -ydy \\ \implies x^2-y^2=C_{1}\]de la segunda y tercera:
\[\frac{dy}{\frac{-x}{z}} = \frac{dz}{\frac{xy}{z^2}} \\ \frac{xy}{z^2}dy = \frac{-x}{z}dz \\ \int ydy = \int -zdz \\ \frac{y^2}{2} = \frac{-z^2}{2} + C_{2} \implies y^2+z^2=C_{2}\]Como la curva debe pasar por \(P_{0}\) podemos averiguar \(C_{1}\) y \(C_{2}\)
\[1^2-1^2=0 \implies C_{1}=0\] \[1^2+1^2=2 \implies C_{2}=2\]Luego nos queda:
\[y^2=x^2 \implies |y|=x\] \[y^2=2-z^2 \\ |z| = \sqrt 2-y^2\]Luego una parametrización puede ser \(C(t) = (t,t, \sqrt (2-y^2))\)
Operador nabla
Llamamos así a un pseudovector de componentes derivadas parciales y se define solo para campos en \(\Re^3\)
Si aplicamos el operador a un campo escalar, obtenemos el vector gradiente del campo escalar.
Siendo \(f\) un campo escalar, entonces \(\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = \vec grad(f)\)
Ej: siendo \(f(x,y,z)=x^2y-2z^2cos(x)\)
\[\implies \nabla f = (2x+2z^2sen(x), x^2, -4zcos(x))\]Aplicado a un campo vectorial, el operador nabla brinda los siguientes resulados
Divergente de F
\[Div(F) = \nabla \dot F = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \dot (F_{1}, F_{2}, F_{3}) = F'_{1x} + F'_{2y} + F'_{3z}\]Rotacional o rotor
\[rot(F) = \nabla X F = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{array} \right|\ = (F'_{3y}-F'_{2z})\hat{i}-(F'_{3x}-F'_{1z})\hat{j}+(F'_{2x}-F'_{1y})\hat{k}\]Cuando las derivadas parciales en un punto existen y son continuas y el rotacionalen dicho punto es \(\vec 0\) diremos que el campo es irrotacional. A estos campos se los denomina conservativos o gradientes. El término campo gradiente refiere a que el campo vectorial se obtiene a través de una función escalar llamada “potencial”.
Ej: \(F(x,y,z)=(2xy, x^2+z^2, 2zy)\)
Comprobar si F es conservativo y hallar su función potencial.
Sabemos que \(fF_{1}, F_{2}, F_{3}\) tienen derivadas parciales continuas en \(\Re^3\)
calculamos rotacional:
\[rot(F) = \nabla X F = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2xy & x^2+z^2 & 2zy \end{array} \right|\ = (2z-2z)\hat{i}-(0-0)\hat{j}+(2x-2x)\hat{k} = (0,0,0)\]Luego el campo es conservativo y existe función potencial.
Cálculo de la función potencial
Para el ejemplo anterior:
\[\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy\] \[\frac{\partial f}{\partial y} = x^2+z^2\] \[\frac{\partial f}{\partial z} = 2zy\]resolvemos las ecuaciones diferenciales
\[\int \partial f = \int 2xy{\partial x} \\ f_{1}(x,y,z) = \int 2xydx + g(y,z) + C_{1} \\ f_{1}(x,y,z) = x^2y+g(y,z)+C_{1}\] \[\int \partial f = \int (x^2+z^2){\partial y} \\ f_{2}(x,y,z) = \int (x^2+z^2)dy+h(x,z)+C_{2} \\ f_{2}(x,y,z) = x^2y+z^2+h(x,z)+C_{2}\] \[\int \partial f = \int (x^2+z^2){\partial z} \\ f_{3}(x,y,z) = \int 2zydz+l(x,y)+C_{3} \\ f_{3}(x,y,z) = z^2y+l(x,y)+C_{3}\]luego la función potencial queda como:
\[f(x,y,z) = x^2y+z^2y+C\]