Análisis Matemático 1 Topología
Topología y Conjuntos
Bola o entorno
Llamamos bola o entorno de centro $p$ y radio $r>0$ al conjunto:
\[A={x\in R/|x-p|<r} = B(p,r)\]Sea $A \in R$ se pueden clasificar los puntos de A de la siguiente manera:
Punto interior
Sea $p \in R$ y $A \subseteq R$ un conjunto, se dice que “$p$ es interior a $A$”
\[\iff \exists r>0 / B(p,r) \subset A\]Por ejemplo:
Sea
\[A=[-2,3] \cup {7}\]¿-1 es punto interior de A?
Luego, planteamos $p=-1$ y un $r>0$ por ejemplo $r=1$
\[B(-1,1)=(-2,0) \subset A\]\(\implies\) -1 es punto interior de A
¿7 es punto interior de A?
No, ya que $\nexists r>0 / B(7,r) \subset A$
En palabras, no se puede armar un entorno alrededor del 7
Se nota al conjunto de los puntos interiores de $A$ como $A^0$
En el ejemplo, $A^0=(-2,3)$
Se dice que un conjunto es abierto $\iff A=A^0$
En el ejemplo, $A \neq A^0 \implies A$ no es abierto
Punto clausura
Un punto $p$ es clausura de un conjunto $A \subseteq R$
\[\iff \forall r>0 : B(p,r) \cap A \neq \varnothing\]Con el mismo ejemplo:
\[A=[-2,3] \cup {7}\]7 está en la clausura, 3 está en la clausura…
El conjunto de puntos clausura se nota $\overline{\rm A}$
\[\overline{\rm A}=[-2,3] \cup 7\]Se dice que un conjunto es cerrado $\iff A=\overline{\rm A}$
Punto frontera
Un punto $p \in R$ se dice frontera:
\[\iff \forall r>0 : B(p,r) \cap A \neq \varnothing \land B(p,r) \cap A^C \neq \varnothing\]Donde $C$ es el complemento.
En el ejemplo, $aA={-2,3,7}$ es el conjunto de puntos frontera.
Conjuntos acotados
Sea $A \subseteq R$ con $A \neq \varnothing$
Se dice que $c$ es cota superior de $A$ $\iff \forall a \in A: a \leq c$
De la misma manera, se dice que $c$ es cota inferior de $A$ $\iff \forall a \in A: a \geq c$
En $ A=[-2,3] \cup {7} $ $7$ es cota superior de $A$ y $-2$ es cota inferior de $A$
En general, se dice un conjunto acotado, si está acotado superiormente e inferiormente.
Supremo e ínfimo
Se le dice supremo a la menor de las cotas superiores de un conjunto. De la misma manera, se dice ínfimo de un conjunto, a la mayor de las cotas superiores.
Ejemplo: $A=[-5,2]$ $Sup(A)=-3 \notin A$
Luego, si el supremo pertenece al conjunto, se lo llama máximo.
Por otro lado, $-7$ es cota inferior de $A$ y $\in A$
Como el ínfimo pertenece al conjunto, se le llama mínimo.
Axioma de completitud
Sea $A \in R$ con $A \neq \varnothing$ acotado superiormente entonces existe el supremo de $A$