Análisis Matemático 1 Sucesiones
Definición, límite de una sucesión, ejemplos.
Sucesiones
Una sucesión es una funcíon $f:\mathbb{N} \to R$. Es decir, una funcíón con dominio en los naturales. Por lo general la notación que usamos es: $f(n)=a_{n}$. Una sucesión se puede pensar como una lista de números escritos en un órden definido:
\[{a_{1}, a_{2}, a_{3}...a_{n}}\]Particularmente, en el análisis matemático, nos interesa estudiar las sucesiones infinitas.
Algunas sucesiones se pueden definir con una fórmula para el n-ésimo término, por ejemplo:
\[a_{n} = n^2\]y produce:
\[{1^2, 2^2, 3^2, 4^2...n^2}\]Límite de una sucesión
La única pregunta que nos podemos hacer con respecto al límite de una sucesión es el límite cuando $n$ tiende a $+inf$:
\[\lim_{n\to +inf} a_{n}\]Ejemplos
1 \(\lim_{n\to +inf} (n^2+1)/(2n^2-3n)=1/2\)
2 \(\lim_{n\to +inf} \frac{(n+1)!+n!}{2(n+1)!} \\ =\lim_{n\to +inf} \frac{(n+1)!(1+\frac{n!}{(n+1)!})}{2(n+1)!} \\ =\lim_{n\to +inf} \frac{1 + \frac{n!}{(n+1)!}}{2} = 1/2\)
3 \(\lim_{n\to +inf} n^(1/2) = inf^0 ind. \\ =\lim_{n\to +inf} e^(ln(n^(1/2))) \\ =\lim_{n\to +inf} e^(\frac{ln(n)}{n}) \\\)
CA
\[\lim_{n\to +inf} \frac{ln(n)}{n}\]Podemos aplicar L’hopital, pero debemos hacerlo pensando en variable real
\[\lim_{x\to +inf} \frac{ln(x)}{x}\]Aplicando L’hopital
\[= \lim_{x\to +inf} \frac{1/x}{1} = 0\]Como $\mathbb{N} \subset R$ vale también que:
\[\lim_{n\to +inf} \frac{ln(n)}{n} = 0\] \[\implies \lim_{n\to +inf} e^(\frac{ln(n)}{n}) = e^0 = 1\]