Análisis Matemático 1 Series
Definición, Pensando sobre series, Sumas parciales, Convergencia y Divergencia, Serie geométrica, Serie telescópica, Serie alternada, Serie P, Criterios de convergencia.
Series
Una serie se puede entender como una suma de una sucesión. las series que nos van a interesar son las series infinitas.
Pensemos en el siguiente caso:
Supongamos que enfrente nuestro tenemos una pared, a exactamente 2 metros de distancia, vamos a comenzar a avanzar pero cada vez que damos un paso, avanzamos la mitad de la distancia avanzada anteriormente. Digamos que en el primer paso avanzamos 1 metro.
Entonces pensamos una sucesión:
\[a_{n} = 1m, 1/2m, 1/4m, 1/8m, ... = \frac{1}{2^{n-1}}\]Luego, la distancia avanzada luego de 8 pasos:
\[1+1/2+1/4+1/8\]Hasta ahora nada demasiado interesante. Una pregunta que nos podemos hacer es ¿Vamos a llegar a la pared? Para eso, vamos a plantear la serie infinita como:
\[\sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{2})^{n}\]Ahora, para obtener la distancia total recorrida, necesitamos una manera de obtener la suma de la serie (más adeltante veremos con detalle la fórmula):
\[S_{N} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2m\]Es decir, en total avanzamos 2 metros, por ende vamos a llegar a la pared. En este caso, “sumar infinitos números” da algo finito pero esto no siempre es así.
Sintetizando:
Si $a_{n}$ es una sucesión infinita, luego $\sum_{n=0}^\infty a_{n}$ es una serie infinita.
Sumas parciales
Dada una sucesión a_{n}, definimos la suma parcial de la misma como
\[S_{N} = \sum_{n=1}^N a_{n}\]Decimos que:
\(\sum_{n=1}^N a_{n}\) es convergente si \(\lim_{N\to +\infty} S_{N}=L \in R\) \(\sum_{n=1}^N a_{n}\) es divergente si \(\lim_{N\to +\infty} S_{N}=inf\) \(\sum_{n=1}^N a_{n}\) es oscilante si \(\nexists \lim_{N\to +\infty} S_{N}\)
Ej:
\(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1-1/2} = 2 \implies\) convergente. \(\sum_{n=0}^\infty 1 = inf \implies\) divergente. \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\) oscilante (-1 si N es impar, 0 si N es par).
Convergencia y divergencia
Condición necesaria para convergencia
Si una serie $\sum a_{n}$ converge $\implies \lim_{n\to +\infty} a_{n}=0$
Cuidado! Esta condición no es recíproca, es decir, que el límite de cero no significa que la serie converge.
Luego también, si $\lim_{n\to +\infty} a_{n} \neq 0 \implies \sum a_{n}$ diverge.
Serie geométrica
Tiene la forma
\[\sum_{n=0}^\infty ar^n\]Llamamos razón geométrica a $r$
Si \(|r| \geq 1\) la serie diverge.
Si \(|r| < 1\) la serie converge y su suma está dada por \(\frac{a}{1-r}\)
Serie P (de términos positivos)
Tiene la forma
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^P}\]Si \(-\infty<p\leq 1\) la serie diverge.
Si \(p>1\) la serie converge.
Serie alternada
Son aquellas series que alternan en signo, ej:
\[\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_{n}\]Estas series convergen si verifican estas condiciones:
1) \(0<a_{n+1}<a_{n} \forall n\) es decir, es decreciente para todo n
2) \(\lim_{n\to +\infty} a_{n}=0\)
Otros criterios de convergencia
Para series de términos positivos
Criterio integral
Si \(f>0\), continua y decreciente para \(x \geq 1\) y \(a_{n}=f(n)\) luego:
\(\sum_{n=1}^\infty a_{n}\) y \(\int_{1}^\infty f(x)\)
Convergen las dos o divergen las dos.
Criterio de comparación directa
Sean \(b_{n} \geq a_{n} >0 \forall n \geq 1\)
Si \(\sum_{n=1}^\infty b_{n}\) converge \(\implies \sum_{n=1}^\infty a_{n}\) converge. Si \(\sum_{n=1}^\infty a_{n}\) diverge \(\implies \sum_{n=1}^\infty b_{n}\) diverge.
En palabras, si la mayor converge, la menor converge. Y si la menor diverge, la mayor diverge.
Criterio de comparación en el límite
Sean \(a_{n}, b_{n}>0\) y \(\lim_{n\to +\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=L\) con \(L \in R>0\)
Luego, \(\sum_{n=1}^\infty a_{n}\) y \(\sum_{n=1}^\infty b_{n}\) ambas convergen o divergen.
Para series de términos no nulos
Criterio de D’Alambert
Sea \(\sum a_{n}\)
Calculando \(\lim_{n\to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=L\)
También se puede evaluar absolutamente.
Si:
\(L<1\) la serie converge.
\(L>1\) la serie diverge.
\(L=1\) El criterio no decide.
Criterio de Cauchy
Sea \(\sum a_{n}\)
Calculando \(\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n] a_{n}=L\)
También se puede evaluar absolutamente.
Si:
\(L<1\) la serie converge.
\(L>1\) la serie diverge.
\(L=1\) El criterio no decide.