Análisis Matemático 1 Polinomio De Taylor
Definición. Polinomio de McLaurin. Error.
Definición
Sea $f$ una función con las primeras $n+1$ derivadas continuas, se define el polinomio de Taylor de orden $n$ alrededor de $x_{0}$ como:
\[P_{n}[f, x_{0}] = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^k\] \[= \frac{f(x_{0})}{0!}(x-x_{0})^0 + \frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})^1 + \frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2 + ... \\ + \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n\]En general, la idea es aproximar una función por un polinomio. El polinomio y la función coinciden en las primeras $n$ derivadas evaluadas en $x_{0}$
Polinomio de McLaurin
Nos referimos al polinomio de McLaurin, como al polinomio de taylor de órden $n$, calculado alrededor de $x_{0)=0$
Fórmula del error
El error que se comete al aproximar $f(x)$ por $P_{n}f, x_{0}$ es:
\[E_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\varepsilon)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}\]Donde $\varepsilon$ está entre $x$ y $x_{0}$
Por ende:
\[f(x)= P_{n}[f, x_{0}](x) + E_{n}(x)\]Ejercicio
Sea $f(x)=1+2x+cos(x)$. Construír el polinomio de McLaurin de orden 4 para $f$ y usarlo para estimar $f(1/3)$. Ver que el error cometido al estimar $f(1/3)$ es menor a $10^{-4}$
Decimos que:
\[P_{4}[f, 0](x) = \frac{f(0)}{0!}x^0 + \frac{f'(0)}{1!}x^1 + \frac{f''(0)}{2!}x^2 \\ + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(iv)}(0)}{4!}x^4\]Calculo $f(0)$ y las derivadas necesarias:
\[f(0)=2\] \[f'(x)=2-sen(x) \implies f'(0)=2\] \[f''(x)=-cos(x) \implies f''(0)=-1\] \[f'''(x)=sen(x) \implies f'''(0)=0\] \[f^{(iv)}(x)=cos(x) \implies f^{(iv)}(0)=1\]Ya calculo la derivada quinta para el error: \(f^{(v)}(x)=-sen(x) \implies f^{(v)}(0)=0\)
Entonces:
\[P_{4}[f, 0](x) = 2 + 2x - \frac{1}{2}x^2 + 0 + \frac{1}{24}x^4\]Ahora estimo $f(1/3)$
\[P_{4}[f, 0](1/3) = 2 + 2(\frac{1}{3}) - \frac{1}{2}(\frac{1}{3})^2 + 0 + \frac{1}{24}(\frac{1}{3})^4 = \frac{5077}{1944}\]Acotando el error: Cuando hablamos de error, estamos hablando de algo positivo, luego, vamos a querer el valor absoluto de $E_{5}$
\[|E_{5}(1/3)| = |\frac{f^{(v)}(\varepsilon)}{5!}(1/3)^5| = |\frac{-sen(\varepsilon)}{120*243}| \\ = \frac{|-sen(\varepsilon)|}{29160} \le \frac{1}{29160} \lt \frac{1}{10000}\]Vemos que se cumple que el error es menor a $10^{-4}$