Análisis Matemático 1 Integral Indefinida
Primitiva, Una tabla de integrales, Propiedades, Métodos de integración
Integral indefinida
Decimos que $P(x)$ es primitiva de $f(x) \iff P’(x)=f(x)$
Ej: Sea $f(x)=2$ Una primitiva de $f(x)$ es $P(x)=2x$, pero esta no es única, ya que por ejemplo, $Q(x)=2x+1$ también es primitiva de $f(x)$
Luego, a partir de cualquier función $f(x)$ existe una familia de infinitas primitivas, que difieren entre sí solo en su constante.
Llamaremos integral indefinida al conjunto de todas las primitivas que admite una función $f(x)$ la cual notaremos:
\[\int f(x) * dx = P(x)+K\]Donde “Sigma” indica que se trata de una integral indefinida. $dx$ “Diferencial x” indica la variable de integración. $K \in R$.
Algunas integrales
\(\int C*dx = Cx+K\) \(\int x^n*dx = x^(n+1)/(n+1)\) \(\int 1/x*dx = ln|x|+K\) \(\int e^x*dx = e^x+K\) \(\int Sen(x)*dx = -Cos(x)+K\) \(\int Cos(x)*dx = Sen(x)+K\) \(\int 1/(1+x^2)*dx = arctg(x)+K\) \(\int 1/sqrt(1-x^2)*dx = arcsen(x)+K\)
Propiedades
Sean $f$ y $g$ dos funciones definidas en un dominio común
1- \(\int C*f(x)*dx=C \int f(x)*dx=C(P(x)+K)\)
2- \(\int (f(x) \pm g(x))*dx=\int f(x)*dx \pm \int g(x)*dx \\ = P_{f}(x)+C_{1}+P_{g}(x)+C_{2} \\ = P_{f}(x)+P_{g}(x)+C\)
3- \(\int f'(x)*dx=f(x)+K\)
4- \((\int f(x)*dx)'=(P(x)+K)'=P'(x)=f(x)\)
La variable de integración importa!!
Por ejemplo:
\[\int Sen(x)*dy = Sen(x)* \int 1*dy = Sen(x)*y+K\]Como integramos con respecto a $y$, Sen(x) se trata como una constante. Luego, como en una variable el concepto de derivada y diferencial son la misma cosa $\implies \int dy = y+K$
Un ejemplo usando las propiedades y la tabla
\[\int (2*Cos(x)+e^x+5*sqrt(x))*dx \\ = \int 2*Cos(x)*dx + \int e^x*dx + \int 5*sqrt(x)*dx \\ = 2* \int Cos(x)*dx + \int e^x*dx + 5* \int sqrt(x)*dx \\ = 2*Sen(x)+e^x+5*2/3*x^(2/3)\]Métodos de resolución
Muchas veces vamos a tener integrales indefinidas que no pueden resolverse algebraicamente y/o por tabla
Sustitución
En este método es clave saber que sustituír, en ningún caso deben quedar variables sin sustituír.
Ej:
$\int xe^(x^2)dx$
Sustituímos \(x^2=t\) aplicando diferencial de ambos lados \(x^2*dx=dt \\ x*dx=dt/2\)
Luego, $\int xe^(x^2)dx = \int e^tdt/2 = 1/2 \int e^tdt = 1/2e^t+K$ Finalmente, sustituyendo nuevamente con la variable original \(1/2*e^(x^2)+K\)
Partes
Cuando tengamos una integral de la forma $\int u*dv$ Podemos plantearla como \(\int u*dv = u*v - \int v*du\) Aquí tenemos que decidir que vamos a derivar y que vamos a integrar
Ej: $\int e^(3x)Sen(x)dx$
Por conveniencia, elijo derivar $e^(3x)$ e integrar $Sen(x)$
\[u=e^(3x) \\ du= 3*e^(3x)*dx\] \[dv=Sen(x)*dx \\ v=-Cos(x)\] \[\implies \int e^(3x)*Sen(x)*dx = -e^(3x)*Cos(x)- \int -Cos(x)*3*e^(3x)*dx \\ = -e^(3x)*Cos(x)+3* \int Cos(x)*e^(3x)*dx\]CA Vuelvo a aplicar el método para $ \int Cos(x)e^(3x)*dx $
\[u=e^(3x) \\ du= 3*e^(3x)*dx\] \[dv=Cos(x)*dx \\ v=Sen(x)\] \[\int Cos(x)*e^(3x)*dx = e^(3x)*Sen(x)- \int Sen(x)*3*e^(3x)*dx \\ = e^(3x)*Sen(x)-3* \int Sen(x)*e^(3x)*dx\]Como podemos observar, $\int Sen(x)e^(3x)dx$ es la integral que originalmente queremos encontrar, entonces, vamos a resolver esta integral como una ecuación:
\[\int Cos(x)*e^(3x)*dx = -e^(3x)*Cos(x)+3* [e^(3x)*Sen(x)-3* \int Sen(x)*e^(3x)*dx] \\ = -e^(3x)*Cos(x)+3*e^(3x)*Sen(x)-9* \int Sen(x)*e^(3x)*dx \\ = (-e^(3x)*Cos(x)+3*e^(3x)*Sen(x)/10)\]Fracciones simples
Dada una función racional $f(x)/g(x)$ se busca descomponer dicha función en una suma de fracciones de integración directa, $f(x)/g(x)$ debe ser irreductible!!
Ej: $\int x/(x^2-x-6)*dx$
Racionalizando.. $\int x/(x^2-x-6)dx = \int x/((x-3)(x+2))dx$
Aplicando el método, planteamos:
\[x/((x-3)(x+2)) = A/(x-3) + B/(x+2) \\ x = A(x+2)+B(x-3)\]Resolviendo el sistema de ecuaciones, nos queda que $B=2/5$ y $A=3/5$
Luego,
\[\int x/(x^2-x-6)*dx = 3/5* \int 1/(x-3)*dx + 2/5* \int 1/(x+2)*dx\]Aplicando el método de sustitución, nos va a quedar como:
\[\int x/(x^2-x-6)*dx = 3/5*ln|x-3|+2/5*ln|x+2|+K\]Más ejemplos
1-
\[\int Cos(x)(1-Sen(x))^3*dx\]Por sustitución:
\[u=Sen(x) \\ du=Cos(x)*dx\] \[\implies \int (1-u)^3*du\]Por sustitución:
\[v=1-u \\ dv=-du\] \[- \int v^3*dv = -v^4/4 + C \\ -(1-u)^4/4+C = -(1-Sen(x))^4/4+C\]