Análisis Matemático 1 Integral Impropia
I.I de primera especie, I.I de segunda especie, criterio de convergencia para funciones no negativas, criterio de límite.
Integral indefinida de primera especie
Sea $f:[a, + \inf)->R / f$ es integrable en $[a, t] \forall t \in [a, + \inf)$ y sea f acotada. Si consideramos la función integral :
\[g(x)= \int_a^x f(t)*dt\]al par $(f;g)$ se lo llama integral impropia de primera especie y se nota
\[\int_a^{+ \inf} f(x)*dx\]Se dice que al calcular
\[\lim_{x\to + \inf} \int_a^b f(x)*dx = \lim {x\to + \inf} g(b) = L\]1- Si $L \in R \implies$ Converge (C.V)
2- Si $L= \pm inf \implies$ Diverge (D.V)
3- Si $\nexists L \implies$ Oscila
Ej:
\[\int_0^{+ \inf} 1/(1+x^2)*dx = \lim_{b\to + \inf} \int_0^b 1/(1+x^2)*dx = \lim_{b\to + \inf} \biggr [ arctg \biggr ]_0^b \\ = \lim_{b\to + \inf} arctg(b)-arctg(0) = pi/2 \implies I.I converge\]Integral indefinida de segunda especie
Sea $f:[a, b)->R / f$ es integrable $\forall t \in [a, t)$ con $t \in [a,b)$ y sea f no acotada. Si consideramos la función integral:
\[g(x)= \int_a^x f(t)*dt\]al par $(f;g)$ se lo llama integral impropia de segunda especie y se nota
\[\int_a^{-b} f(x)*dx\]Si al calcular
\[\lim_{t\to b-} \int_a^t f(x)*dx = L\]1- Si $L \in R \implies$ Converge (C.V)
2- Si $L= \pm inf \implies$ Diverge (D.V)
3- Si $\nexists L \implies$ Oscila
Ej:
\[\int_{0+}^1 1/x*dx = \lim_{a\to 0+} \int_a^1 1/x*dx = \lim_{a\to 0+} \biggr [ ln|x| \biggr ]_a^1 \\ = \lim_{a\to 0+} ln|1|-ln|a| = +inf \implies I.I diverge\]Criterio de convergencia para funciones no negativas
Sean $f,g:[a,b)->r$ funciones no negativas de primera o segunda especie, integrables en $[a,t] \forall t \in (a,b) / 0 < f(x) < g(x)$
1- Si \(\int_a^{b-} g(x)*dx\) C.V. \(\implies \int_a^{b-} f(x)*dx\) C.V.
2- Si \(\int_a^{b-} g(x)*dx\) D.V. \(\implies \int_a^{b-} f(x)*dx\) D.V.