Análisis Matemático 1 Integral Definida
Propiedades de integral definida, Función integral, Teorema fundamental del cálculo integral, Regla de Barrow, Cálculo de área, Área entre curvas.
Integral indefinida
Propiedades
1- \(\int_a^b c*dx = c * \int_a^b dx = c(b-a)\)
2- \(\int_a^b [f(x)*dx+g(x)*dx]*dx = \int_a^b f(x)*dx + \int_a^b g(x)*dx\)
3- \(\int_a^a f(x)*dx = 0\)
4- \(\int_a^b f(x)*dx = - \int_b^a f(x)*dx\)
5- Sea $f$ continua en $[a,b] \implies f$ es integrable en $[a,b]$
\[\implies \exists \int_a^b f(x)*dx \in R\]6- Sea $f$ continua y $c \in [a,b]$
\[\implies \int_a^b f(x)*dx = \int_a^c f(x)*dx + \int_c^b f(x)*dx\]7- Sea $f(x) \le g(x) \forall x \in [a,b]$ \(\implies \int_a^b f(x)*dx \le \int_a^b g(x)*dx\)
Función integral
Si alguno de los extremos en la integral definida es variable, será una función integral.
Ej:
\[\int_a^{B(x)} f(t)*dt\]Teorema fundamental del cálculo integral
Sea $f(x)$ una función continua en $[a,b]$ y sea $g(x) = \int_a^x f(t)*dt$
$\implies g’(x)=(\int_a^x f(t)*dt)’=f(x)$
Es decir, se puede comprender a la integración y a la derivación como operaciones inversas.
Derivando una función integral
\[(\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)*dt)' = f(v(x))*v'(x)-f(u(x))*u'(x)\]Ej:
\[F(x) = \int_{x^2+1}^{x^4} sqrt(1+t^2)*dt \\ F'(x) = f(x^4)*4x^3-f(x^2+1)*2x \\ F'(x) = sqrt(1+x^8)*4x^3-sqrt(1+(x^2+1)^2)*2x\]Regla de Barrow
Sea f(x) continua en $[a,b]$ y sea:
\[\int_a^b f(x)*dx = \biggr [ P(x)+C \biggr ]_a^b = (P(b)+C)-(P(a)+C) = P(b)-P(a)\]Área de figuras planas
Para que el cálculo de área tenga sentido, ésta debe ser positiva, por lo tanto, sea $f(x)$ una función continua en $[a,b]$, para calcular el área de dicha curva entre $x=a$ y $x=b$ y el éje de abscisas:
\[\int_a^b |f(x)|*dx\]Área entre curvas
Para hallar el área entre las curvas de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, hay que intregar $f(x)-g(x)$ en los intervalos en donde $f(x)>g(x)$, por el contrario, hay que integrar $g(x)-f(x)$ en los intervalos en que $g(x)>f(x)$