Análisis Matemático 1 Estudio De Funciones
Teoremas de derivación en intervalos cerrados (Rolle, Fermat), Extremos, Crecimiento y decrecimiento, Mínimos y máximos, Teorema de Lagrange, Concavidad y convexidad.
Teorema de Rolle
Sea $f:[a,b]->R$ continua y derivable en $(a,b)$ y tal que $f(a)=f(b)$ luego $\exists c \in (a,b) / f’(c)=0$
Teorema de Fermat
Sea $f:[a,b]->R$ derivable en un punto $x=c$ y tal que presenta un extremo relativo en $x=c \implies f’(c)=0$
Extremos de una función
Sea $f:D \subseteq R -> R$ una función, diremos que $f$ presenta un máximo relativo en $x=a \iff \exists \delta > 0 / \forall x \in (a- \delta; a+ \delta) : f(a) \geq f(x)$
Sea $f:D \subseteq R -> R$ una función, diremos que $f$ presenta un mínimo relativo en $x=b \iff \exists \delta > 0 / \forall x \in (b- \delta; b+ \delta) : f(b) \leq f(x)$
Sea $f:D \subseteq R -> R$ una función, diremos que $f$ presenta un máximo absoluto en $x=c \iff : f(c) \geq f(x) \forall x \in Df$
Sea $f:D \subseteq R -> R$ una función, diremos que $f$ presenta un mínimo absoluto en $x=c \iff : f(c) \leq f(x) \forall x \in Df$
Teorema de Lagrange
Sea $f$ una función continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$. Entonces $\exists c \in (a,b) / f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$
Consecuencias de teorema de Lagrange
Si $f’ \geq 0$ en $(a,b) \implies f$ es creciente en $(a,b)$ Si $f’ > 0$ en $(a,b) \implies f$ es estrictamente creciente en $(a,b)$
Si $f’ \leq 0$ en $(a,b) \implies f$ es decreciente en $(a,b)$ Si $f’ < 0$ en $(a,b) \implies f$ es estrictamente decreciente en $(a,b)$
Concavidad y convexidad de una curva
Sea $f$ continua en $(a,b)$, si $\forall x_{1};x_{2} \in (a,b); x_{1} \neq x_{2}$, la cuerda que una dichos puntos se encuentra por encima de la curva en $(x_{1}, x_{2})$ entonces la curva se dirá convexa, por el contrario, si la cuerda está por debajo, se dirá cóncava.
Por el signo de la derivada segunda, podemos saber si $f$ es cóncava o convexa
Si $f’‘(x)>0 \forall x \in (a,b) \implies f(x)$ es convexa en $(a,b)$ Si $f’‘(x)<0 \forall x \in (a,b) \implies f(x)$ es cóncava en $(a,b)$